Câu 1: Số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử là
Lời giải:
Lời giải: $C_{10}^2$ là ký hiệu chuẩn trong toán học để biểu diễn số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử. Lựa chọn B $A_{10}^2$ là ký hiệu chỉnh hợp, không phải tổ hợp. Các lựa chọn C và D là các con số không chính xác với giá trị thực của tổ hợp này.
Câu 2: Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ với công sai d=3 và ${{u}_{2}}=9$. Số hạng ${{u}_{1}}$ của cấp số cộng bằng
Lời giải:
Lời giải: Trong cấp số cộng, công thức tổng quát là $u_n = u_1 + (n-1)d$. Với $u_2 = 9$ và công sai $d = 3$, ta có $u_2 = u_1 + d \Rightarrow 9 = u_1 + 3 \Rightarrow u_1 = 6$. Đây là bài toán cơ bản về tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng khi biết số hạng thứ hai và công sai.
Câu 3: Nghiệm của phương trình ${{2}^{x-1}}=8$ là
Lời giải:
Lời giải: Ta có phương trình $2^{x-1}=8$. Viết 8 dưới dạng lũy thừa cơ số 2 được $8=2^3$, do đó phương trình trở thành $2^{x-1}=2^3$. Vì cơ số bằng nhau nên ta cân bằng số mũ: $x-1=3$, suy ra $x=4$. Đây là dạng bài toán phương trình mũ cơ bản trong chương trình Toán THPT.
Câu 4: Thể tích của khối hình hộp chữ nhật có độ dài ba kích thước 2, 3, 4 bằng
Lời giải:
Lời giải: Thể tích của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức V = chiều dài × chiều rộng × chiều cao. Với ba kích thước lần lượt là 2, 3, 4, ta có V = 2 × 3 × 4 = 24. Đây là kiến thức cơ bản về hình học không gian trong chương trình Toán THPT.
Câu 5: Tập xác định của hàm số y = ${{\log }_{3}}\left( x-1 \right)$ là
Lời giải:
Lời giải: Hàm số logarit ${\log}_3(x-1)$ xác định khi biểu thức bên trong dấu logarit lớn hơn 0, tức là $x-1 > 0$ hay $x > 1$. Do đó tập xác định của hàm số là $(1; +\infty)$, tương ứng với đáp án C trong đề thi thử THPT QG năm 2021.
Câu 6: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
Lời giải:
Lời giải: Khẳng định B sai vì tích phân của tích hai hàm số không bằng tích của các tích phân riêng lẻ. Đây là một sai lầm phổ biến trong tính toán tích phân, trong khi các khẳng định A, C, D đều là các tính chất đúng của tích phân không xác định.
Câu 7: Cho khối chóp có diện tich đáy B=3 và thể tích V = 4. Chiều cao của khối chóp đã cho bằng
Lời giải:
Lời giải: Công thức tính thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3}Bh$, trong đó B là diện tích đáy và h là chiều cao. Thay các giá trị đã cho: $4 = \frac{1}{3} \times 3 \times h$, suy ra $4 = h$. Vậy chiều cao của khối chóp bằng 4.
Câu 8: Cho khối nón có chiều cao h = 3, bán kính r = 4. Độ dài đường sinh của khối nón bằng
Lời giải:
Lời giải: Độ dài đường sinh của khối nón được tính bằng công thức $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$. Thay số với $h = 3$ và $r = 4$, ta có $l = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Do đó đáp án A là chính xác.
Câu 9: Thể tích của một khối cầu có bán kính $R$ là
Lời giải:
Lời giải: Công thức thể tích khối cầu $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ là công thức cơ bản trong hình học không gian, được chứng minh bằng phương pháp tích phân hoặc nguyên lý Cavalieri. Đáp án A chính xác vì thể tích tỉ lệ với lập phương bán kính, trong khi các đáp án khác sai về hệ số hoặc số mũ của R.
Câu 10: Cho hàm số $y=g\left( x \right)$ xác định và liên tục trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty\right),$ có bảng biến thiên như hình sau: Mệnh đề nào sau đây đúng?
Lời giải:
Lời giải: Dựa vào bảng biến thiên đã cho, ta thấy đạo hàm $y'$ mang dấu “+” trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$, điều này chứng tỏ hàm số đồng biến trên khoảng này. Các khẳng định còn lại đều không chính xác dựa trên dấu của đạo hàm $y'$.
Câu 11: Với a là số thực dương tùy ý, ${{\log }_{3}}\left( {{a}^{5}} \right)$ bằng
Lời giải:
Lời giải: Theo tính chất của logarit, ta có công thức $\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)$. Áp dụng vào bài toán này, $\log_3(a^5) = 5 \cdot \log_3(a)$, đây là kiến thức cơ bản về logarit trong chương trình Toán THPT. Đáp án D chính xác vì thể hiện đúng tính chất lũy thừa trong logarit.
Câu 12: Cho khối trụ có chiều cao h = 3 và bán kính đáy r = 4. Thề tích của khối trụ đã cho bằng
Lời giải:
Lời giải: Thể tích khối trụ được tính bằng công thức $V = \pi r^{2}h$. Với bán kính đáy $r = 4$ và chiều cao $h = 3$, ta có $V = \pi \times 4^{2} \times 3 = \pi \times 16 \times 3 = 48\pi$. Do đó đáp án đúng là $48\pi$.
Câu 13: Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
Lời giải:
Lời giải: Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu khi đạo hàm $y'$ đổi dấu từ âm sang dương. Quan sát bảng, điều này xảy ra tại $x=3$, với giá trị cực tiểu là $y=-25$. Do đó, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x=3$.
Câu 14: Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào trong các phương án A, B, C, D?
Lời giải:
Lời giải: Từ đồ thị đã cho, ta xác định các đặc điểm chính của hàm số. Đường tiệm cận đứng của đồ thị là $x = -1$ và đường tiệm cận ngang là $y = -1$. Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ $y = -2$ (khi $x=0$) và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ $x = -2$ (khi $y=0$).\nKiểm tra các phương án: Phương án A có tiệm cận ngang $y=1$ nên loại. Các phương án B, C, D đều có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=-1$. Ta xét tiếp giao điểm với các trục tọa độ.\n- Với phương án B ($y=\frac{-x-2}{x+1}$): Khi $x=0$, $y=\frac{-2}{1}=-2$ (phù hợp). Khi $y=0$, $-x-2=0 \implies x=-2$ (phù hợp). Do đó, phương án B là phù hợp nhất với đồ thị đã cho.
Câu 15: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{1+3x}{3-x}$ là
Lời giải:
Lời giải: Để tìm tiệm cận ngang của hàm số $y=\frac{1+3x}{3-x}$, ta tính giới hạn khi $x\to\pm\infty$: $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1+3x}{3-x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3+\frac{1}{x}}{-1+\frac{3}{x}}=-3$. Vậy đường thẳng $y=-3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, phù hợp với phương án C.
Câu 16: Tìm tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \ge 2$
Lời giải:
Lời giải: Bất phương trình $(\frac{1}{2})^x \ge 2$ được viết lại thành $2^{-x} \ge 2^1$. Vì cơ số 2 > 1 nên hàm số mũ đồng biến, ta có $-x \ge 1$ hay $x \le -1$. Do đó tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty; -1]$.
Câu 17: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau Số nghiệm của phương trình 2f(x) - 1 = 0 là
Lời giải:
Lời giải: Từ phương trình $2f(x) - 1 = 0$, ta có $f(x) = \frac{1}{2}$. Dựa vào bảng biến thiên, ta kẻ đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ (nằm giữa giá trị cực tiểu $-2$ và cực đại $1$, và cao hơn $-2$). Đường thẳng này cắt đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại 4 điểm phân biệt, do đó phương trình có 4 nghiệm.
Câu 18: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [0;3], f(0) = 2 và f(3)= 5 . Tính $\text{I = }\int\limits_{0}^{3}{{{f}{'}}(x)dx}$.
Lời giải:
Lời giải: Theo định lý cơ bản của giải tích, tích phân của đạo hàm $f'(x)$ trên đoạn $[a;b]$ bằng hiệu giá trị của hàm số tại hai đầu mút: $\int_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a)$. Áp dụng vào bài này, ta có $I = f(3) - f(0) = 5 - 2 = 3$, do đó đáp án đúng là 3.
Câu 19: Số phức liên hợp $\overline{w}$của số phức: $w=-1+2i.$
Lời giải:
Lời giải: Số phức liên hợp của số phức $w = a + bi$ được xác định bằng công thức $\overline{w} = a - bi$. Áp dụng vào bài toán với $w = -1 + 2i$, ta có $\overline{w} = -1 - 2i$, tức là giữ nguyên phần thực và đổi dấu phần ảo. Đây là kiến thức cơ bản về số phức trong chương trình Toán lớp 12.
Câu 20: Cho 2 số phức ${{z}_{1}}=3-4i\,\,;\,\,{{z}_{2}}=4-i$. Số phức z = $\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}$ bằng:
Lời giải:
Lời giải: Để tính số phức $z = \frac{z_1}{z_2}$, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu số là $4 + i$. Kết quả thu được là $\frac{16 - 13i}{17} = \frac{16}{17} - \frac{13}{17}i$, khớp với đáp án A. Đây là bài toán cơ bản về phép chia số phức trong chương trình Toán lớp 12.
Câu 21: Môdun của số phức:$w=4-3i$
Lời giải:
Lời giải: Môđun của số phức được tính bằng công thức $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ với $z = a + bi$. Áp dụng cho $w = 4 - 3i$, ta có $|w| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$. Đây là kiến thức cơ bản về số phức trong chương trình Toán THPT.
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm $A\left( 1;-2;4 \right),\,B\left( -2;3;5 \right)$.Tìm tọa độ véctơ $\overrightarrow{AB}$
Lời giải:
Lời giải: Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ được tính bằng công thức $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$. Thay tọa độ điểm $A(1;-2;4)$ và $B(-2;3;5)$ vào ta được $\overrightarrow{AB} = (-2-1, 3-(-2), 5-4) = (-3;5;1)$, đúng với đáp án A.
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): ${{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-7)}^{2}}=36$ có tâm I và bán kính R là:
Lời giải:
Lời giải: Phương trình mặt cầu có dạng $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ với tâm I(a,b,c) và bán kính R. Từ phương trình $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-7)^{2}=36$, ta xác định được tâm I(2,-1,7) và bán kính R=√36=6, nên đáp án D là chính xác.
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – z + 2 = 0.Véctơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Lời giải:
Lời giải: Phương trình mặt phẳng (P): 3x – z + 2 = 0 có dạng Ax + By + Cz + D = 0 nên véctơ pháp tuyến là (3, 0, -1). Véctơ $\overrightarrow n = \left( { - 3;0;1} \right)$ là bội số của véctơ pháp tuyến (nhân với -1) nên cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Trong hình học không gian, véctơ pháp tuyến có thể nhân với một số khác 0 mà vẫn đại diện cho cùng một mặt phẳng.
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{align} & x=0 \\ & y=t \\ & z=2-t \\\end{align} \right.$. Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng d?
Lời giải:
Lời giải: Đường thẳng d có phương trình tham số $\left\{ \begin{align} & x=0 \\ & y=t \\ & z=2-t \\\end{align} \right.$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng được xác định từ hệ số của tham số t trong phương trình tham số, tức là $(0; 1; -1)$. Do đó, phương án D là đáp án chính xác cho câu hỏi này trong đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán.
Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), $S A=\sqrt{2} a,$ đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường thằng SC và mặt phằng (ABCD) bằng
Lời giải:
Lời giải: Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và hình chiếu AC của nó trên mặt phẳng đáy. Trong tam giác SAC vuông tại A, ta có SA = $a\sqrt{2}$ và AC = $a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông), nên tan(góc SCA) = SA/AC = 1, suy ra góc bằng 45°.
Câu 27: Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của $f^{\prime}(x)$ như sau: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Lời giải:
Lời giải: Dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm $f^{\prime}(x)$, ta thấy đạo hàm đổi dấu tại $x = -1$ (từ dương sang âm) và tại $x = 0$ (từ âm sang dương). Tại $x = -1$, $f'(-1)=0$ và đổi dấu nên $x=-1$ là một điểm cực trị. Tại $x = 0$, $f^{\prime}(x)$ không xác định nhưng vẫn đổi dấu, và giả sử hàm số $f(x)$ xác định tại $x=0$, thì $x=0$ cũng là một điểm cực trị. Vậy hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
Câu 28: Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=\frac{x-2}{x+3}$ trên đoạn [-1 ; 2] bằng
Lời giải:
Lời giải: Hàm số $f(x)=\frac{x-2}{x+3}$ có đạo hàm $f'(x)=\frac{5}{(x+3)^2}$ luôn dương trên đoạn [-1;2], do đó hàm số đồng biến trên đoạn này. Giá trị lớn nhất đạt được tại đầu mút bên phải x=2 với $f(2)=0$, trong khi giá trị tại x=-1 là -1,5.
Câu 29: Xét các số thực a và b thỏa mãn ${{2}^{a}}{{.4}^{b}}=8.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Lời giải:
Lời giải: Ta có phương trình $2^{a} \cdot 4^{b} = 8$. Vì $4 = 2^{2}$ nên $4^{b} = (2^{2})^{b} = 2^{2b}$, và $8 = 2^{3}$. Do đó phương trình trở thành $2^{a} \cdot 2^{2b} = 2^{3}$ hay $2^{a+2b} = 2^{3}$, suy ra $a + 2b = 3$. Đây là kiến thức cơ bản về tính chất lũy thừa trong chương trình Toán THPT.
Câu 30: Số giao điểm của đồ thị hàm số $\left( c \right):y={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4$ và trục hoành là
Lời giải:
Lời giải: Để tìm số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành, ta giải phương trình $y=0$ tức là $x^{4}-5x^{2}+4=0$. Đặt $t=x^{2}$ với $t\ge0$, ta được phương trình $t^{2}-5t+4=0$ có hai nghiệm $t=1$ và $t=4$, từ đó suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt $x=\pm1$ và $x=\pm2$. Vậy đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Câu 31: Tập nghiệm của bất phương trình ${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{{{x}^{2}}-2}}>{{2}^{4-3x}}$ là
Lời giải:
Lời giải: Ta có $(\frac{1}{2})^{x^2-2} = 2^{-x^2+2}$, bất phương trình trở thành $2^{-x^2+2} > 2^{4-3x}$. Do cơ số 2 > 1 nên $-x^2+2 > 4-3x$, giải ra được $x^2-3x+2 < 0$ hay $1 < x < 2$. Vậy tập nghiệm là khoảng $(1;2)$ tương ứng với đáp án A.
Câu 32: Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác ABC đều có cạnh bằng a, biết B, C thuộc đường tròn đáy. Thể tích của khối nón là:
Lời giải:
Lời giải: Khi cắt khối nón bằng mặt phẳng qua trục, ta được tam giác đều ABC với cạnh bằng a, trong đó B và C thuộc đường tròn đáy. Đường cao của nón bằng chiều cao tam giác đều $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ và bán kính đáy $r = \frac{a}{2}$, do đó thể tích khối nón là $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{a^3\pi\sqrt{3}}{24}$.
Câu 33: Cho tích phân $I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{3{{\ln }^{2}}x+1}}dx}$. Nếu đặt $t=\sqrt{3{{\ln }^{2}}x+1}$ thì khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Lời giải:
Lời giải: Khi đặt $t=\sqrt{3\ln^2 x+1}$, ta có $t^2=3\ln^2 x+1$ và vi phân $2tdt=6\ln x\cdot\frac{1}{x}dx$, suy ra $\frac{\ln x}{x}dx=\frac{t}{3}dt$. Cận tích phân thay đổi từ $x=1$ đến $x=e$ tương ứng với $t=1$ đến $t=2$, do đó tích phân trở thành $\frac{1}{3}\int_1^2 dt$, khớp với đáp án B.
Câu 34: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $\left( C \right):y={{x}^{2}}+2x;\,\,\left( d \right):y=x+2$ được tính bởi công thức nào dưới đây?
Lời giải:
Lời giải: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, ta cần lấy tích phân của giá trị tuyệt đối hiệu hai hàm số. Trên đoạn $[-2,1]$, biểu thức $x^{2}+x-2$ luôn âm nên giá trị tuyệt đối bằng $-(x^{2}+x-2)$. Do đó công thức đúng là $S = -\int_{-2}^{1}(x^{2}+x-2)dx$, tương ứng với đáp án C.
Câu 35: Cho hai số phức ${{z}_{1}}=2-i$ và ${{z}_{2}}=-3+i.$ Phần thực của số phức 3$z_{1} z_{2}$ bằng
Lời giải:
Lời giải: Ta tính tích hai số phức $z_{1}z_{2} = (2-i)(-3+i) = -5 + 5i$. Nhân với 3 ta được $3z_{1}z_{2} = -15 + 15i$. Phần thực của số phức này là $-15$, do đó đáp án đúng là A.
Câu 36: Gọi ${{z}_{0}}$ là nghiệm có phần ảo dương của phương trình ${{z}^{2}}+2z+5=0.$ Điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{0}}+3i$ là
Lời giải:
Lời giải: Giải phương trình $z^2+2z+5=0$ ta được nghiệm $z_0=-1+2i$ (nghiệm có phần ảo dương). Khi đó $z_0+3i=-1+5i$, nên điểm biểu diễn của số phức này trong mặt phẳng phức là $(-1;5)$, khớp với đáp án A.
Câu 37: Phương trình mặt phẳng (a) đi qua A(-1;2;3) và chứa trục Ox là:
Lời giải:
Lời giải: Mặt phẳng chứa trục Ox có dạng $By + Cz + D = 0$ (không chứa biến x). Thay tọa độ điểm A(-1;2;3) vào phương trình $3y - 2z = 0$ ta được $3(2) - 2(3) = 6 - 6 = 0$, thỏa mãn điều kiện. Đây là phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa trục Ox.
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {3;{\rm{ }}2;{\rm{ }}2} \right), B\left( {4; – 1;0} \right)$. Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $ qua hai điểm A và B.
Lời giải:
Lời giải: Vector chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{AB} = (1; -3; -2)$. Đáp án D có phương trình tham số $\Delta: \left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = 2 + 3t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.$ với vector chỉ phương $(-1; 3; 2)$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ và đi qua điểm A(3;2;2), nên đây là phương trình đúng của đường thẳng qua hai điểm A và B.
Câu 39: Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 7 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh, hộp thứ hai chứa 6 quả cầu đỏ và 4 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên từ một hộp một quả cầu. Xác suất để hai quả lấy ra cùng màu đỏ.
Lời giải:
Lời giải: Xác suất lấy được quả cầu đỏ từ hộp thứ nhất là $\frac{7}{12}$ và từ hộp thứ hai là $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Vì hai sự kiện này độc lập nên xác suất để cả hai quả cùng màu đỏ là tích của hai xác suất: $\frac{7}{12} \times \frac{3}{5} = \frac{21}{60} = \frac{7}{20}$.
Câu 40: Hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=a,AC=2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là điểm I thuộc cạnh BC. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng $\left( A'BC \right)$.
Lời giải:
Lời giải: Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( A'BC \right)$ bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng BC trong tam giác ABC. Trong tam giác vuông ABC với AB = a, AC = 2a, ta có BC = $\sqrt{5}a$ và đường cao từ A xuống BC là $\frac{2\sqrt{5}}{5}a$. Đây là đáp án đúng vì A'I vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên khoảng cách từ A đến (A'BC) chính là khoảng cách từ A đến BC.
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số $y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( m+25 \right)x-1$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
Lời giải:
Lời giải: Để hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$, ta cần đạo hàm $y' = 4x^{3} - 12x^{2} + (m+25) \geq 0$ với mọi $x > 1$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $4x^{3} - 12x^{2}$ trên $(1;+\infty)$ là $-16$ tại $x=2$, do đó điều kiện trở thành $m+25 \geq 16$ hay $m \geq -9$. Với m nguyên âm, ta có 9 giá trị thỏa mãn là $-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1$.
Câu 42: Cho điểm $A\left( {2;1;0} \right)$ và đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = – 1 + t\\z = – t\end{array} \right.$. Đường thẳng ${d_2}$ qua A vuông góc với ${d_1}$ và cắt ${d_1}$ tại M. Khi đó M có tọa độ là
Lời giải:
Lời giải: Vector chỉ phương của đường thẳng $d_1$ là $\vec{u} = (2;1;-1)$. Do đường thẳng $d_2$ qua A và vuông góc với $d_1$ nên vector $\overrightarrow{AM}$ phải vuông góc với $\vec{u}$. Giải phương trình $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 0$ với $M \in d_1$, ta được $t = \frac{2}{3}$ và tọa độ điểm $M = \left(\frac{7}{3};-\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)$.
Câu 43: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình $2f\left( x \right)+1=0$ là
Lời giải:
Lời giải: Từ phương trình $2f(x) + 1 = 0$, ta biến đổi thành $f(x) = - rac{1}{2}$. Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng ngang $y = - rac{1}{2}$. Quan sát đồ thị, đường thẳng $y = - rac{1}{2}$ nằm giữa $y=0$ và $y=-1$, cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt. Vậy phương trình có 4 nghiệm.
Câu 44: Tính chiều cao h của hình trụ biết chiều cao h bằng bán kính đáy và thể tích của khối trụ đó là $8\pi$
Lời giải:
Lời giải: Thể tích khối trụ được tính bằng công thức $V = \pi r^{2}h$. Với điều kiện chiều cao bằng bán kính đáy (h = r), ta có $V = \pi r^{3} = 8\pi$, suy ra $r^{3} = 8$ nên r = 2. Do h = r nên chiều cao h = 2, đây là đáp án đúng trong đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán.
Câu 45: Giả sử $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là cặp nghiệm nguyên không âm có tổng $S = {x_0} + {y_0}$ lớn nhất của bất phương trình ${4^x} + {2^x}{.3^y} – {9.2^x} + {3^y} \le 10$, giá trị của S bằng
Lời giải:
Lời giải: Bằng cách đặt $a = 2^x$ và $b = 3^y$, ta đưa bất phương trình về dạng $a^2 + ab - 9a + b \le 10$. Sau khi thử các giá trị nguyên không âm của $x$ và $y$, ta tìm được các cặp nghiệm $(2,1)$ và $(3,0)$ có tổng $S = x + y = 3$ là lớn nhất. Các cặp khác đều có tổng nhỏ hơn hoặc bằng 3.
Câu 46: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( {x;y} \right)$ với $x \le 2020$ thỏa mãn điều kiện ${\log _2}\frac{{x + 2}}{{y + 1}} + {x^2} + 4x = 4{y^2} + 8y + 1$.
Lời giải:
Lời giải: Phương trình được biến đổi thành $\log_2\frac{x+2}{y+1} = 4(y+1)^2 - (x+2)^2 + 1$. Khi $\frac{x+2}{y+1} = 2$, ta có $\log_2 2 = 1$ và phương trình trở thành $(x+2)^2 = 4(y+1)^2$, suy ra $x = 2y$. Với $x \le 2020$ và $x,y$ nguyên dương, ta có $y \le 1010$, do đó có 1010 cặp số thỏa mãn.
Câu 47: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;10} \right]} \,f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 4.$ Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + x} \right) – {x^2} + 2x + m.$ Giá trị của tham số m để $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \,g\left( x \right) = 8$ là
Lời giải:
Lời giải: Với hàm số $h(x) = x^{3} + x$ đồng biến trên $[0;2]$, ta có $h(x)$ nhận mọi giá trị từ 0 đến 10. Tại $x = 1$ thì $h(1) = 2$, do đó $f(x^{3} + x) = f(2) = 4$. Khi đó $g(1) = 4 - 1 + 2 + m = 5 + m$, và để $\max_{x \in [0;2]} g(x) = 8$ thì $5 + m = 8$ suy ra $m = 3$.
Câu 48: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Hàm số $y = f’\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right),\;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right)$, T = M + m. Hỏi mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Lời giải:
Lời giải: Từ đồ thị của $f'(x)$, ta lập bảng biến thiên của $f(x)$ trên đoạn $[-2; 6]$. Giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của $f(x)$ sẽ đạt được tại các điểm đầu mút $x=-2, x=6$ hoặc các điểm cực trị $x=0, x=2, x=5$. Bằng cách so sánh diện tích các miền phẳng giới hạn bởi đồ thị $f'(x)$ và trục $Ox$, ta suy ra được $f(5)$ là giá trị lớn nhất và $f(-2)$ là giá trị nhỏ nhất. Do đó, $M = f(5)$, $m = f(-2)$, và tổng $T = M+m = f(5) + f(-2)$.
Câu 49: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$, thỏa mãn $\int_0^\pi {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2$. Giá trị tích phân $I = \int_{ – \pi }^\pi {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{2020}^x} + 1}}{\rm{d}}x} $ bằng?
Lời giải:
Lời giải: Vì $f(x)$ là hàm chẵn, ta có thể biến đổi tích phân bằng cách đặt $x = -t$ và cộng hai biểu thức để thu được $2I = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx$. Do $f(x)$ chẵn nên $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx = 2\int_0^{\pi} f(x)dx = 4$, suy ra $I = 2$. Đây là một kỹ thuật tích phân quan trọng thường xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia.
Câu 50: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0;\,1} \right]$ và $f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}, \forall x \in \left[ {0;\,1} \right]$. Tính $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
Lời giải:
Lời giải: Đặt $I = \int_0^1 f(x)dx$ và sử dụng tính đối xứng $\int_0^1 f(1-x)dx = I$. Cộng hai tích phân ta được $2I = \int_0^1 \frac{x^2+2x+3}{x+1}dx = \int_0^1 \left[(x+1) + \frac{2}{x+1}\right]dx = \frac{3}{2} + 2\ln 2$. Do đó $I = \frac{3}{4} + \ln 2$ tương ứng với đáp án A.
