Câu 1: Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):\,\,3x - 2y + 2z + 7 = 0$ và $\left( \beta \right):\,\,5x - 4y + 3z + 1 = 0.$ Phương trình mặt phẳng qua $O,$ đồng thời vuông góc với cả $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ có phương trình là:
Lời giải:
Lời giải: Mặt phẳng cần tìm có vector pháp tuyến là tích có hướng của hai vector pháp tuyến của $(\alpha)$ và $(\beta)$, tính được là $(2, 1, -2)$. Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $O$ với vector pháp tuyến này là $2x + y - 2z = 0$, khớp với đáp án C.
Câu 2: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y = \dfrac{{x + 2}}{{x + 3m}}$ đồng biến trên $\left( { - \infty ; - 6} \right)?$
Lời giải:
Lời giải: Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -6)$ khi đạo hàm $y' = \dfrac{3m - 2}{(x+3m)^2} > 0$ và hàm số xác định trên khoảng này. Điều này xảy ra khi $3m - 2 > 0$ hay $m > \dfrac{2}{3}$ và $m \leq 2$ để $-3m \notin (-\infty; -6)$. Các giá trị nguyên thỏa mãn là $m = 1, 2$, nên có 2 giá trị.
Câu 3: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):\,\,4x + 3y - 12z + 10 = 0.$ Lập phương trình mặt phẳng $\left( \beta \right)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện: Tiếp xúc với $\left( S \right),$ song song với $\left( \alpha \right)$ và cắt trục $Oz$ ở điểm có cao độ dương.
Lời giải:
Lời giải: Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1,2,3)$ và bán kính $R=4$. Mặt phẳng $(\beta)$ song song với $(\alpha)$ nên có dạng $4x+3y-12z+D=0$. Điều kiện tiếp xúc cho $|D-26|=52$ nên $D=78$ hoặc $D=-26$, và điều kiện cắt trục $Oz$ ở điểm có cao độ dương yêu cầu $D>0$. Vậy phương trình đúng là $4x+3y-12z+78=0$.
Câu 4: Cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 123$ và ${u_3} - {u_{15}} = 84.$ Số hạng ${u_{17}}$ có giá trị là:
Lời giải:
Lời giải: Từ công thức cấp số cộng $u_n = u_1 + (n-1)d$, ta có $u_3 - u_{15} = (123 + 2d) - (123 + 14d) = -12d = 84$, suy ra công sai $d = -7$. Do đó, $u_{17} = u_1 + 16d = 123 + 16(-7) = 123 - 112 = 11$, tương ứng với đáp án A.
Câu 5: Hệ số ${x^6}$ khi khai triển đa thức $P\left( x \right) = {\left( {5 - 3x} \right)^{10}}$ có giá trị bằng đại lượng nào sau đây?
Lời giải:
Lời giải: Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton cho $P(x) = (5 - 3x)^{10}$, số hạng chứa $x^6$ ứng với $k = 6$ có hệ số là $C_{10}^6 \cdot 5^4 \cdot (-3)^6$. Vì $(-3)^6 = 729 > 0$ nên hệ số phải dương, do đó đáp án D là chính xác với biểu thức $C_{10}^6 \cdot 5^4 \cdot 3^6$.
Câu 6: Cho hai số phức ${z_1} = 1 + 2i$ và ${z_2} = 3 - 4i.$ Số phức $2{z_1} + 3{z_2} - {z_1}{z_2}$ là số phức nào sau đây?
Lời giải:
Lời giải: Thực hiện các phép tính số phức theo thứ tự: $2z_1 = 2 + 4i$, $3z_2 = 9 - 12i$, $z_1z_2 = 11 + 2i$. Kết quả cuối cùng là $2z_1 + 3z_2 - z_1z_2 = -10i$, tương ứng với đáp án B trong đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán.
Câu 7: Bảng biến thiên trong hình vẽ bên là của hàm số nào trong các hàm số sau đây:
Lời giải:
Lời giải: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $\lim_{x \to \pm\infty} y = +\infty$, suy ra đây là hàm số bậc bốn trùng phương có hệ số $a > 0$, do đó loại đáp án B. Hàm số có 3 điểm cực trị là $x=0, x=\pm 1$. Xét đáp án A: $y = {x^4} - 2{x^2} - 5$, ta có $y' = 4{x^3} - 4x = 4x({x^2} - 1)$, $y'=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\pm 1$. Các giá trị cực trị $y(0)=-5$ và $y(\pm 1)=-6$ đều khớp với bảng biến thiên, do đó A là đáp án đúng.
Câu 8: Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{5x - 3}}{{1 - 2x}}$ bằng số nào sau đây?
Lời giải:
Lời giải: Đây là giới hạn của hàm phân thức hữu tỉ khi $x \to +\infty$. Khi bậc của tử số và mẫu số bằng nhau, giới hạn bằng tỉ số của các hệ số bậc cao nhất. Tử số có hệ số cao nhất là $5$, mẫu số có hệ số cao nhất là $-2$, nên kết quả là $\frac{5}{-2} = -\frac{5}{2}$.
Câu 9: Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm $2cm$ thì thể tích của nó tăng thêm $98c{m^3}.$ Tính độ dài cạnh của hình lập phương.
Lời giải:
Lời giải: Gọi độ dài cạnh ban đầu là $x$ cm, ta có phương trình $(x+2)^3 - x^3 = 98$. Khai triển và rút gọn được $x^2 + 2x - 15 = 0$, giải ra $x = 3$ cm (nhận) hoặc $x = -5$ cm (loại). Vậy đáp án đúng là $3$ cm tương ứng với lựa chọn B.
Câu 10: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ { - 2;\,6} \right],$ có đồ thị hàm số như hình vẽ. Gọi $M,\,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $f\left( x \right)$ trên miền $\left[ { - 2;\,6} \right].$ Tính giá trị của biểu thức $T = 2M + 3m.$
Lời giải:
Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn $\left[ { - 2;\,6} \right]$, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là $M = 5$ (đạt tại $x = 1$) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $m = -4$ (đạt tại $x = 4$). Thay các giá trị này vào biểu thức $T = 2M + 3m$, ta được $T = 2(5) + 3(-4) = 10 - 12 = -2.$
Câu 11: Với $a,\,b$ là hai số dương tùy ý thì $\log \left( {{a^3}{b^2}} \right)$ có giá trị bằng biểu thức nào sau đấy?
Lời giải:
Lời giải: Áp dụng tính chất của logarit, ta có $\log(a^3b^2) = \log(a^3) + \log(b^2) = 3\log a + 2\log b$. Đây là kiến thức cơ bản về logarit trong chương trình Toán THPT, thường xuất hiện trong các đề thi thử THPT Quốc gia. So sánh với các phương án, chỉ có đáp án D khớp với kết quả tính toán này.
Câu 12: Hàm số $f\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - 4x} \right)$ có đạo hàm trên miền xác định là $f'\left( x \right).$ Chọn kết quả đúng.
Lời giải:
Lời giải: Đạo hàm của hàm số logarit $\log_a(u)$ có công thức là $f'(x) = \frac{u'}{u \cdot \ln a}$. Áp dụng vào hàm số $f(x) = \log_3(x^2 - 4x)$ với $u = x^2 - 4x$ và $u' = 2x - 4$, ta được $f'(x) = \frac{2x - 4}{(x^2 - 4x) \cdot \ln 3}$, đây chính là đáp án D.
Câu 13: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Giá trị cực tiểu của hàm số là số nào sau đây?
Lời giải:
Lời giải: Dựa vào bảng biến thiên đã cho, ta thấy đạo hàm $y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x=3$. Điều này chứng tỏ hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$. Giá trị cực tiểu tương ứng của hàm số là $y(3) = -4$.
Câu 14: Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $A\left( {1;\,1;\,2} \right)$ và $B\left( {3;\,4;\,5} \right).$ Tọa độ vecto $\overrightarrow {AB} $ là:
Lời giải:
Lời giải: Trong không gian Oxyz, tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ được tính bằng công thức $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$. Với $A(1;1;2)$ và $B(3;4;5)$, ta có $\overrightarrow{AB} = (3-1; 4-1; 5-2) = (2;3;3)$. Đây là kiến thức cơ bản về vectơ trong hình học giải tích không gian.
Câu 15: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $BB' = a,$ đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B,\,\,AC = a\sqrt 2 .$ Tính thể tích lăng trụ.
Lời giải:
Lời giải: Khối lăng trụ đứng có thể tích được tính bằng công thức $V = S_{đáy} imes h$. Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ và có cạnh huyền $AC = a\sqrt 2$. Từ đó, ta có $AB = BC = a$ (vì $AB^2 + BC^2 = AC^2 \Rightarrow 2AB^2 = (a\sqrt 2)^2 = 2a^2 \Rightarrow AB = a$). Diện tích đáy là $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} a \cdot a = \dfrac{a^2}{2}$. Chiều cao của lăng trụ là $h = BB' = a$. Vậy, thể tích của lăng trụ là $V = \dfrac{a^2}{2} \cdot a = \dfrac{a^3}{2}$.
Câu 16: Cho hàm số $y = f\left( x \right),$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm thực của phương trình $2f\left( x \right) + 7 = 0.$
Lời giải:
Lời giải: Từ phương trình $2f\left( x \right) + 7 = 0,$ ta suy ra $f\left( x \right) = -\frac{7}{2} = -3.5.$ Dựa vào bảng biến thiên, ta kẻ đường thẳng $y = -3.5.$ Đường thẳng này cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại bốn điểm phân biệt. Cụ thể, trong các khoảng $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$, đường thẳng $y = -3.5$ đều cắt đồ thị hàm số một lần. Vậy phương trình có 4 nghiệm thực.
Câu 17: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right){\left( {x + 5} \right)^4}.$ Hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
Lời giải:
Lời giải: Hàm số có đạo hàm $f'(x) = (2x + 1)(x - 3)(x + 5)^4$. Giải phương trình $f'(x) = 0$ ta được các nghiệm $x = -\frac{1}{2}$, $x = 3$ và $x = -5$ (nghiệm bội 4). Tuy nhiên, tại nghiệm bội chẵn $x = -5$, đạo hàm không đổi dấu nên không phải điểm cực trị. Do đó hàm số chỉ có 2 điểm cực trị tại $x = -\frac{1}{2}$ và $x = 3$.
Câu 18: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của 1 trong 4 hàm số dưới đây, đó là hàm số nào?
Lời giải:
Lời giải: Đồ thị trong hình vẽ là đồ thị của hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$. Từ đồ thị ta thấy đường tiệm cận đứng là $x = -1$ và đường tiệm cận ngang là $y = 2$. Chỉ có hàm số $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ (ứng với lựa chọn C) thỏa mãn các điều kiện này, vì tiệm cận đứng là $x = -1$ và tiệm cận ngang là $y = \dfrac{2}{1} = 2$. Ngoài ra, đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ và $(-1/2;0)$, cũng phù hợp với hàm số này.
Câu 19: Cho hình nón có đường sinh là $a,$ góc giữa đường sinh và đáy là $\alpha .$ Tính diện tích xung quanh của hình nón.
Lời giải:
Lời giải: Gọi $l$ là đường sinh, $r$ là bán kính đáy của hình nón. Theo đề bài, đường sinh là $a$, tức $l=a$. Góc giữa đường sinh và đáy là $\alpha$. Ta có tam giác vuông tạo bởi chiều cao, bán kính đáy và đường sinh, với $\cos \alpha = \frac{r}{l}$. Từ đó, suy ra bán kính đáy $r = l \cos \alpha = a \cos \alpha$. Diện tích xung quanh của hình nón được tính bằng công thức $S_{xq} = \pi r l$. Thay các giá trị vào, ta được $S_{xq} = \pi (a \cos \alpha) a = \pi {a^2}\cos \alpha$. Do đó, đáp án đúng là D.
Câu 20: Một khối trụ bán kính đáy là $a\sqrt 3 ,$ chiều cao là $2a\sqrt 3 .$ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối trụ.
Lời giải:
Lời giải: Gọi $R$ là bán kính khối cầu ngoại tiếp khối trụ. Ta có bán kính đáy khối trụ là $r = a\sqrt{3}$ và chiều cao $h = 2a\sqrt{3}$. Khi đó, bán kính khối cầu ngoại tiếp được tính bằng công thức $R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$. Thay số, ta được $R^2 = (a\sqrt{3})^2 + \left(\frac{2a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 3a^2 + 3a^2 = 6a^2$, suy ra $R = a\sqrt{6}$. Thể tích khối cầu là $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (a\sqrt{6})^3 = \frac{4}{3}\pi a^3 (6\sqrt{6}) = 8\sqrt{6}\pi a^3$.
Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho đường tròn $\left( S \right)$ có tâm $I$ nằm trên đường thẳng $y = - x,$ bán kính bằng $R = 3$ và tiếp xúc với các trục tọa độ. Lập phương trình của $\left( S \right),$ biết hoành độ tâm $I$ là số dương.
Lời giải:
Lời giải: Đường tròn có tâm I nằm trên đường thẳng y = -x và tiếp xúc với các trục tọa độ nên khoảng cách từ tâm đến các trục bằng bán kính R = 3. Với hoành độ dương, tâm I phải có tọa độ (3,-3) để thỏa mãn điều kiện nằm trên y = -x và tiếp xúc với cả hai trục. Do đó phương trình đường tròn là $(x-3)^2 + (y+3)^2 = 9$.
Câu 22: Cho các số thực $a,\,b,\,c,\,d$ thay đổi, luôn thỏa mãn ${\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 1$ và $4c - 3d - 23 = 0.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2}$ là:
Lời giải:
Lời giải: Biểu thức P = (a-c)² + (b-d)² biểu diễn khoảng cách giữa điểm (a,b) nằm trên đường tròn tâm I(1,2) bán kính 1 và điểm (c,d) nằm trên đường thẳng 4c-3d-23=0. Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng là 5, nên khoảng cách nhỏ nhất giữa đường tròn và đường thẳng là 5-1=4, do đó giá trị nhỏ nhất của P là 4²=16.
Câu 23: Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $I\left( {2;\,3;\,4} \right)$ và $A\left( {1;\,2;\,3} \right).$ Phương trình mặt cầu tâm $I$ và đi qua $A$ có phương trình là:
Lời giải:
Lời giải: Phương trình mặt cầu có dạng $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ với tâm $I(a,b,c)$. Bán kính $R=IA=\sqrt{(2-1)^2+(3-2)^2+(4-3)^2}=\sqrt{3}$ nên $R^2=3$. Do đó phương trình mặt cầu tâm $I(2;3;4)$ và đi qua $A(1;2;3)$ là $(x-2)^2+(y-3)^2+(z-4)^2=3$.
Câu 24: Đặt ${\log _3}4 = a,$ tính ${\log _{64}}81$ theo $a.$
Lời giải:
Lời giải: Ta có $\log_{64}81 = \log_{4^3}3^4 = \frac{4}{3}\log_4 3$. Mà $\log_4 3 = \frac{1}{\log_3 4} = \frac{1}{a}$, nên $\log_{64}81 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{a} = \frac{4}{3a}$. Đây là bài toán vận dụng công thức đổi cơ số và tính chất nghịch đảo của logarit.
Câu 25: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây:
Lời giải:
Lời giải: Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy khi giá trị $x$ tăng từ $-1$ đến $0$, đồ thị hàm số đi lên, tức là giá trị $y$ tăng. Do đó, hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;0} \right)$.
Câu 26: Hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,\,\,AB = a,\,\,AC = 2a$. Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là điểm $I$ thuộc cạnh $BC$. Tính khoảng cách từ $A$ tới mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$.
Lời giải:
Lời giải: Theo giả thiết, hình chiếu của $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $I$ thuộc cạnh $BC$, suy ra $A'I \perp (ABC)$. Vì $I \in BC$ nên đường thẳng $A'I$ nằm trong mặt phẳng $(A'BC)$, do đó mặt phẳng $(A'BC)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ theo giao tuyến là $BC$. Khi đó, khoảng cách từ $A$ đến $(A'BC)$ chính bằng khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$, tức là độ dài đường cao $AH$ của tam giác vuông $ABC$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$, ta có $\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2} = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{(2a)^2} = \dfrac{5}{4a^2}$, suy ra $AH = \dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
Câu 27: Trong không gian $Oxyz$ khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):\,\,x + 2y + 3z - 1 = 0$ và $\left( Q \right):\,\,x + 2y + 3z + 6 = 0$ là:
Lời giải:
Lời giải: Hai mặt phẳng có cùng vector pháp tuyến $(1, 2, 3)$ nên chúng song song với nhau. Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $d = \frac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$, ta được $d = \frac{|-1 - 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{7}{\sqrt{14}}$.
Câu 28: Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 3,\,\,\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = - 2$. Tính giá trị của biểu thức $I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx} $.
Lời giải:
Lời giải: Dựa vào tính chất tuyến tính của tích phân xác định, ta có $I = 2\int\limits_0^1 f(x)dx - 3\int\limits_0^1 g(x)dx$. Thay các giá trị đã cho $\int\limits_0^1 f(x)dx = 3$ và $\int\limits_0^1 g(x)dx = -2$ vào, ta được $I = 2 \times 3 - 3 \times (-2) = 6 + 6 = 12$.
Câu 29: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và đồng biến trên $\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$, bất phương trình $f\left( x \right) > \ln \left( {\cos x} \right) - {e^{\pi x}} + m$ (với $m$ là tham số) thỏa mãn với mọi $x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$ khi và chỉ khi:
Lời giải:
Lời giải: Để bất phương trình $f(x) > \ln (\cos x) - e^{\pi x} + m$ đúng với mọi $x \in (0;\frac{\pi}{2})$, ta xét hàm $g(x) = f(x) - \ln (\cos x) + e^{\pi x}$. Do $f(x)$ đồng biến và $g(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 0$ là $g(0) = f(0) + 1$, nên điều kiện cần và đủ là $m < f(0) + 1$.
Câu 30: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thoi tâm $O$ và $SO \bot \left( {ABCD} \right)$, $SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3},\,\,BC = SB = a$. Số đo góc giữa 2 mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là:
Lời giải:
Lời giải: Vì $SO \perp (ABCD)$, ta có tam giác $SOB$ vuông tại $O$, suy ra $OB = \sqrt{SB^2 - SO^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a\sqrt{6}}{3})^2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Do $ABCD$ là hình thoi nên $BD = 2OB = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$. Ta cũng chứng minh được $SD=a$, nên $\triangle SBC$ và $\triangle SDC$ là hai tam giác cân tại $B$ và $D$ bằng nhau. Gọi H là trung điểm của cạnh chung SC, khi đó $BH \perp SC$ và $DH \perp SC$, suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ là góc $\angle BHD$. Áp dụng định lý Pytago, ta tính được $BH^2 = DH^2 = \frac{2a^2}{3}$ và có $BD^2 = \frac{4a^2}{3}$, do đó $BH^2+DH^2=BD^2$. Vậy tam giác $BHD$ vuông tại H, nên góc cần tìm là $90^\circ$.
Câu 31: Cho đồ thị hàm số $f\left( x \right) = 2{x^3} + mx + 3$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $a,\,\,b,\,\,c$. Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{1}{{f'\left( a \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( b \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( c \right)}}$.
Lời giải:
Lời giải: Với hàm số bậc ba $f(x) = 2x^3 + mx + 3$ có ba nghiệm phân biệt $a$, $b$, $c$, tổng $\frac{1}{f'(a)} + \frac{1}{f'(b)} + \frac{1}{f'(c)}$ luôn bằng 0 theo tính chất của đa thức. Đây là kết quả tổng quát áp dụng cho mọi đa thức bậc ba có ba nghiệm phân biệt, không phụ thuộc vào giá trị của tham số $m$.
Câu 32: Cho khối tứ diện $ABCD$ có thể tích là $V$. Gọi $E,\,\,F,\,\,G$ lần lượt là trung điểm $BC,\,\,BD,\,\,CD$ và $M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q$ lần lượt là trọng tâm $\Delta ABC,\,\,\Delta ABD,\,\,\Delta ACD,\,\,\Delta BCD$. Tính thể tích khối tứ diện $MNPQ$ theo $V$.
Lời giải:
Lời giải: Gọi G là trọng tâm của tứ diện $ABCD$. Phép vị tự tâm G tỉ số $k=-\frac{1}{3}$ biến các đỉnh $A, B, C, D$ lần lượt thành các điểm $Q, P, N, M$. Do đó, phép vị tự này biến khối tứ diện $ABCD$ thành khối tứ diện $QPNM$, nên tỉ số thể tích là $\frac{V_{QPNM}}{V_{ABCD}} = |k|^3 = |-\frac{1}{3}|^3 = \frac{1}{27}$. Vì thể tích tứ diện không phụ thuộc vào thứ tự đỉnh nên $V_{MNPQ} = V_{QPNM} = \frac{V}{27}$.
Câu 33: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như ở hình vẽ bên. Phương trình $f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ?
Lời giải:
Lời giải: Đặt $t = f(x) - 1$, phương trình đã cho trở thành $f(t) = 0$. Dựa vào đồ thị, phương trình $f(t)=0$ có 3 nghiệm phân biệt là $t_1 \in (-2, -1)$, $t_2 \in (-1, 0)$ và $t_3 \in (1, 2)$. - Với $t = t_1$, ta có $f(x) = t_1+1 \in (-1, 0)$, phương trình này có 3 nghiệm. - Với $t = t_2$, ta có $f(x) = t_2+1 \in (0, 1)$, phương trình này có 3 nghiệm. - Với $t = t_3$, ta có $f(x) = t_3+1 \in (2, 3)$, phương trình này có 1 nghiệm. Các nghiệm này là phân biệt, do đó phương trình ban đầu có tổng cộng $3+3+1=7$ nghiệm.
Câu 34: Một phân sân trường được định vị bởi các điểm $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ như hình vẽ. Bước đầu chúng được lấy “thăng bằng” để có cùng độ cao, biết $ABCD$ là hình thang vuông ở $A$ và $B$ với độ dài $AB = 25m,\,\,AD = 15m,\,\,BC = 18m$. Do yêu cầu kỹ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở $C$ nên người ra lấy độ cao ở các điểm $B,\,\,C,\,\,D$ xuống thấp hơn so với độ cao ở $A$ là $10cm,\,\,acm,\,\,6cm$ tương ứng. Giá trị của $a$ là các số nào sau đây ?
Lời giải:
Lời giải: Gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $A$ là gốc tọa độ, tia $AB$ trùng với tia $Ox$, tia $AD$ trùng với tia $Oy$. Tọa độ các điểm sau khi hạ độ cao (đơn vị mét) là $A'(0,0,0)$, $B'(25,0,-0.1)$, $D'(0,15,-0.06)$ và $C'(25,18,-a/100)$. Mặt sân mới là một mặt phẳng $(P)$ đi qua ba điểm $A', B', D'$, có phương trình là $x+y+250z=0$. Vì điểm $C'$ cũng thuộc mặt phẳng $(P)$ nên tọa độ của nó phải thỏa mãn phương trình, ta có $25+18+250(-a/100)=0$, suy ra $a=17.2$. Vậy giá trị của $a$ là $17,2cm$.
Câu 35: Cho tam giác $SAB$ vuông tại $A,\,\,\angle ABS = {60^0}$. Phân giác của góc $\angle ABS$ cắt$SA$ tại $I$. Vẽ nửa đường tròn tâm $I$, bán kính $IA$ (như hình vẽ). Cho miền tam giác $SAB$ và nửa hình tròn quay xung quanh trục $SA$ tạo nên các khối tròn xoay có thể tích tương ứng là ${V_1},\,\,{V_2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải:
Lời giải: Thể tích khối nón $V_1$ là $V_1 = \frac{1}{3}\pi \cdot AB^2 \cdot SA$. Thể tích khối cầu $V_2$ là $V_2 = \frac{4}{3}\pi \cdot IA^3$. Trong tam giác vuông SAB, ta có $SA = AB \tan 60^\circ = AB\sqrt{3}$. Theo tính chất đường phân giác, ta có $\frac{IA}{SA} = \frac{AB}{AB+BS} = \frac{AB}{AB+2AB} = \frac{1}{3}$, suy ra $IA = \frac{SA}{3} = \frac{AB\sqrt{3}}{3}$. Lập tỉ số thể tích: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3}\pi AB^2 (AB\sqrt{3})}{\frac{4}{3}\pi (\frac{AB\sqrt{3}}{3})^3} = \frac{9}{4}$, do đó $V_1 = \frac{9}{4}V_2$.
Câu 36: Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A\left( { - 1;3;5} \right),\,\,B\left( {2;6; - 1} \right),\,\,C\left( { - 4; - 12;5} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,\,x + 2y - 2z - 5 = 0$. Gọi $M$ là điểm di động trên $\left( P \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|$ là:
Lời giải:
Lời giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$. Do đó $S = 3|MG|$, và giá trị nhỏ nhất của S đạt được khi M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (P). Khoảng cách từ G(-1,-1,3) đến (P) là $\frac{14}{3}$, nên $S_{\min} = 3 \times \frac{14}{3} = 14$.
Câu 37: Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^4} - 2m{x^2} + 4 - 2{m^2}$. Có tất cả bao nhiêu số nguyên $m \in \left( { - 10;10} \right)$ để hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ có đúng 3 cực trị.
Lời giải:
Lời giải: Hàm số $y = |f(x)|$ có đúng 3 cực trị khi $f(x)$ có 3 cực trị và giá trị cực trị âm tại ít nhất một điểm. Với $f(x) = x^4 - 2mx^2 + 4 - 2m^2$, điều kiện này xảy ra khi $m > 0$ và $m > \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$. Trong khoảng $(-10;10)$, các số nguyên thỏa mãn là 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, tổng cộng 8 giá trị.
Câu 38: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;\pi } \right]$. Biết $f\left( 0 \right) = 2e$ và $f\left( x \right)$ luôn thỏa mãn đẳng thức $f'\left( x \right) + \sin xf\left( x \right) = \cos x{e^{\cos x}}\,\,\forall x \in \left[ {0;\pi } \right]$. Tính $I = \int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} $ (làm tròn đến phần trăm)
Lời giải:
Lời giải: Giải phương trình vi phân $f'(x) + \sin x f(x) = \cos x e^{\cos x}$ bằng phương pháp thừa số tích phân, ta được $f(x) = e^{\cos x}(\sin x + 2)$. Khi đó tích phân $I = \int_0^\pi f(x)dx = (e - \frac{1}{e}) + 2\int_0^\pi e^{\cos x}dx \approx 16.91$ sau khi làm tròn đến phần trăm.
Câu 39: Cho $x,\,\,y$ thỏa mãn ${\log _3}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 9} \right) + y\left( {y - 9} \right) + xy$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \dfrac{{3x + 2y - 9}}{{x + y - 10}}$ khi $x,\,\,y$ thay đổi.
Lời giải:
Lời giải: Bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \dfrac{3x+2y-9}{x+y-10}$ với điều kiện logarit phức tạp. Sau khi phân tích phương trình và sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, ta xác định được giá trị lớn nhất của P là 3. Đây là kết quả thu được từ việc giải hệ phương trình và tìm cực trị của hàm số P thỏa mãn điều kiện ban đầu.
Câu 40: Cho tứ diện ABCD có $AB = AC,\,\,BD = DC$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Lời giải:
Lời giải: Với giả thiết $AB = AC$ và $BD = DC$, ta có tam giác $ABC$ cân tại $A$ và tam giác $BCD$ cân tại $D$. Khi đó, đường cao từ $A$ và $D$ xuống cạnh $BC$ cùng nằm trong mặt phẳng trung trực của $BC$, suy ra $AD$ vuông góc với $BC$. Do đó khẳng định $BC \bot AD$ là đúng.
Câu 41: Cho a là một số thực dương, biểu thức ${a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a $ viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
Lời giải:
Lời giải: Biểu thức $a^{\frac{2}{3}}\sqrt{a}$ có thể viết thành $a^{\frac{2}{3}} \times a^{\frac{1}{2}}$ vì $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$. Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta cộng số mũ: $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6}$, do đó kết quả là $a^{\frac{7}{6}}$.
Câu 42: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M\left( {0; - 1;4} \right)$ và song song với giá của hai vectơ$\overrightarrow u \left( {3;2;1} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( { - 3;0;1} \right)$, phương trình của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là:
Lời giải:
Lời giải: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng được tìm bằng tích có hướng của hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$, cho kết quả là $\overrightarrow n = (1, -3, 3)$. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(0; -1; 4)$ với vectơ pháp tuyến này là $x - 3y + 3z - 15 = 0$, khớp hoàn toàn với đáp án C.
Câu 43: Cho mặt cầu $S\left( {O;R} \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Biết khoảng cách từ O tới $\left( \alpha \right)$ bằng d. Nếu $d < R$ thì giao tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với mặt cầu $S\left( {O;R} \right)$ là đường tròn có bán kính bằng
Lời giải:
Lời giải: Khi một mặt phẳng cắt một mặt cầu với khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng là $d < R$, giao tuyến là một đường tròn. Bán kính của đường tròn này được tính bằng công thức $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ dựa trên định lý Pythagoras trong tam giác vuông tạo bởi bán kính mặt cầu, khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng và bán kính đường tròn giao tuyến.
Câu 44: Đồ thị hình bên là của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
Lời giải:
Lời giải: Từ đồ thị hàm số, ta thấy đường tiệm cận đứng là $x = -\frac{1}{2}$ và đường tiệm cận ngang là $y = \frac{1}{2}$. Đồng thời, đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0, -1)$ và cắt trục hoành tại điểm $(1, 0)$. Chỉ có hàm số $y = \dfrac{x - 1}{2x + 1}$ thỏa mãn tất cả các điều kiện trên.
Câu 45: Gọi m là giá trị nhỏ nhất và M là giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^4} - 2{x^2} - 3$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$. Giá trị biểu thức $M + m$ bằng
Lời giải:
Lời giải: Hàm số $y = x^4 - 2x^2 - 3$ có đạo hàm $y' = 4x^3 - 4x = 4x(x-1)(x+1)$, tìm được các điểm tới hạn trong đoạn $[0;2]$ là $x = 0$ và $x = 1$. Tính giá trị tại các điểm này và biên: $f(0) = -3$, $f(1) = -4$, $f(2) = 5$, nên $m = -4$ và $M = 5$. Do đó $M + m = 5 + (-4) = 1$.
Câu 46: Một vật chuyển động với gia tốc $a\left( t \right) = 6t\,\,\left( {m/{s^2}} \right)$. Vân tốc của vật tại thời điểm $t = 2$ giây là $17\,m/s$. Quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian tử thời điểm $t = 4$ giây đến thời điểm $t = 10$ giây là:
Lời giải:
Lời giải: Từ gia tốc $a(t) = 6t$ tích phân được vận tốc $v(t) = 3t^2 + C$, dùng điều kiện $v(2) = 17$ tìm được $C = 5$. Quãng đường từ $t = 4$ đến $t = 10$ tính bằng $s(10) - s(4) = (1000 + 50) - (64 + 20) = 966$ m.
Câu 47: Trong không gian Oxyz, cho $A\left( {1;3;5} \right),\,\,B\left( { - 5; - 3; - 1} \right)$. Phương trình mặt cầu đường kính AB là:
Lời giải:
Lời giải: Tâm của mặt cầu đường kính AB là trung điểm I của đoạn thẳng AB, với A(1;3;5) và B(-5;-3;-1) ta có I(-2;0;2). Bán kính R = AB/2 = 3√3, do đó phương trình mặt cầu là $(x + 2)^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 27$. Đáp án A chính xác vì có đúng tâm và bán kính của mặt cầu.
Câu 48: Đồ thị của hàm số $y = {x^3} - 3x + 1$ có điểm cực tiểu là
Lời giải:
Lời giải: Để tìm điểm cực tiểu của hàm số $y = x^3 - 3x + 1$, ta giải phương trình đạo hàm $y' = 3x^2 - 3 = 0$ được $x = 1$ và $x = -1$. Kiểm tra bằng đạo hàm bậc hai $y'' = 6x$, tại $x = 1$ có $y'' = 6 > 0$ nên đây là điểm cực tiểu với giá trị $y(1) = -1$.
Câu 49: Hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển ${\left( {\dfrac{x}{3} - \dfrac{3}{x}} \right)^{12}},\,\,\left( {x \ne 0} \right)$?
Lời giải:
Lời giải: Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton, số hạng tổng quát là $T_{k+1} = C_{12}^k \left(\dfrac{x}{3}\right)^{12-k} \left(-\dfrac{3}{x}\right)^k$. Để tìm số hạng chứa $x^4$, ta giải phương trình $12 - 2k = 4$ được $k = 4$, khi đó hệ số là $C_{12}^4 × \dfrac{1}{81} = \dfrac{495}{81} = \dfrac{55}{9}$.
Câu 50: Thể tích của một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng $a\sqrt 2 $ là:
Lời giải:
Lời giải: Thể tích khối lăng trụ được tính bằng công thức V = S_đáy × h. Diện tích đáy tam giác đều cạnh a là $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$, nhân với chiều cao $a\sqrt{2}$ ta được $V = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{4}$. Đây là kết quả chính xác cho lăng trụ tam giác đều với các thông số đã cho.
